組合c公式(數學三)微積分性質公式整理

微積分
第一章 函數、連續、極限
一、函數：
1.函數的性態：
有界性——區間內連續函數必有界，反之不然。
同區間內導數有界則原函數有界。
區間內有最大值（或最小值），則函數在區間內有上界（下屆）。
方法：定義、結合極限、連續與導數來確定。
單調性——單調函數一定有反函數且單調性相同。
單調函數的復合函數仍然是單調函數。
單調函數的原函數和導數不一定仍為單調函數。
方法：利用導數符號分析。
周期性——f(x+T)=f(x)
以T為周期的可導函數，其導數以T為周期，但原函數不一定為周期函數。
以T為周期的連續函數：
































方法：定義，利用常見函數判斷（三角函數）。
奇偶性——前提：定義域關于原點對稱。
奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶
奇數個奇函數之積為奇函數，偶數個奇函數之積是偶函數
奇奇復合為奇，偶偶復合為偶，奇偶復合為偶。
求導后變換奇偶性。
f(x)為偶 f`(x)為奇，f(x)為奇 f`(x)為偶。
若f(x)定義域關于原點對稱，則：
11
f(x)=
2
[f(x)-f(-x)]+
2
[f(x)+f(-x)] 式中前者為奇，后者為偶。
方法：定義
2.相關：
反函數——單調函數一定有反函數，反函數與直接函數單調性相同，圖像關于y=x對稱
求定義域——分式中分母不為0，
根式中負數不能開偶次方根，
對數中底數大于0不等于1，真數大于0，
arcsinx與arccosx中-1≤x≤1
π
tanx，secx中x≠kπ+
2
，cosx與cscx中x≠kπ
求表達式——換元法，分段函數分段求。

二、極限
1.數列的極限：
定義——給定數列｛X
n
｝及常數a，若對于任意給定的正數ε＞0，總存在正整數N ，使
得當n>N時，有|X
n
－a|＜ε恒成立，則稱常數a為數列｛X
n< br>｝的極限，或者稱數列｛X
n
｝
收斂于a，極為

。
性質——唯一性：數列收斂則極限唯一。
有界性：收斂數列一定有界。
保號性：如果

，且a＞0（或a＜0），那么存在正整數N，當n
＞N時，都有Xn＞0（或Xn＜0）。如果

，

，且a＞b，
那么存在正整數N，當n＞N時，都有Xn＞Yn。
如果數列收斂于a，那么此數列的任意子數列都收斂于a。
求法——利用通向表達式轉化為函數進行計算，若

，則

。
若數列通項是n項和或積時，可利用積分定義，設f(x)在[a,b]上連續，則：




























2.函數的極限：
定義——
性質——唯一性：有極限則極限唯一。
局部有界性：X→X
0
時f(x)→ A，則f(x)在X
0
的某去心鄰域內有界。
局部保號性：X→X
0
時f(x)→A，A＞0（或A＜0），則在x
0
的某去心鄰域內f(x
＞0（或f (x)＜0）。反之亦然。
求法——化簡：無窮小量等量代換，分子分母同時除以最高次的項，根式有理化
洛必達法則
導數的定義
利用兩個重要極限變形
冪指函數極限

：















變量代換：題設x 時，設 往往可以簡化計算


帶皮亞諾余項的泰勒公式展開：













；


























；





























；










利用左右極限求極限：
分段函數：絕對值函數，取整函數[x]， 最大最小，符號函數sgn(x)，且求分段點的
極限時，要從左右極限入手
當極限式中包含

，

，



時，要從
， 入手
含參變量的極限應考慮參變量的范圍
求已知極限中的待定參數，函數值，導數及函數等：




，









，










3.無窮小量與無窮大量
性質——







，其中 是此極限過程下的無窮小量。
有限個無窮小量的和、積均為無窮小量
無窮小量×有界量仍為無窮小量。
比較——同一變化中， ≠0，則對于



若為0，則稱 是



的高階無窮小，記作 ＝o(



)
若為 ，則稱 是



的低階無窮小。
若為1，則等價。
若為常數C，則同階。
若


，則則稱 是



的k階無窮小
等價無窮小——




















乘除因子項可直接替換等價無窮小，加減項不可。
無窮大量——當n 時，按照趨向無窮的速度越來越大排列的函數：
，




，




， ，


4.極限的運算
四則運算——若



，



，則：




&











&




若 存在但 不存在，則 和

可能存在也可能不存在。
重要結果——



；




；




；



，a＞1；







，









，




5.兩個重要極限：





















或









設 ，則
。
設f(x) ，g(x) ，則
































（

式）
或



























6.極限存在準則：
單調有界準則——單調不增或不減，且有上界或下界的數列｛Xn｝必有極限。
夾逼準則——如果數列｛Xn｝｛Yn｝｛Zn｝滿足
Yn≤Xn≤Zn（n=1，2…）；

，

，則

存在且等于
函數的極限存在準則類似。
7.洛必達法則：
定義——
注意——只有，的未定式才可使用。


盡量結合等價無窮小替換、變量替換簡化運算。
非零因子項（乘或除項）的極限用四則運算法則先求出后再使用洛必達法則。

三、函數的連續與間斷
1.連續的定義
x
0
點處——x
0
的某鄰域，若




，則f(x)在點x
0
處連續。左連續與右連續。
開區間連續——對于任意x
0
∈(a,b)，f(x)在x
0
連續，則稱f(x)在(a,b)內連續
閉區間上連續——f(x)在(a,b)連續，且






，



半開半閉區間上連續——
應用——判斷抽象函數的連續性
2.連續的條件
同時滿足f(x)在x
0
點有定義，


存在，且





f(x)在x
0
點連續 f(x)在x
0
點既左連續，又右連續。
3.間斷點
定義——不滿足連續三個條件的點
分類——
第一類間斷點
可去間斷點：左右極限存在且相等
跳躍間斷點：左右極限存在但不想等
第二類間斷點
左右極限至少有一個不存在的點，分為無窮間
斷點、震蕩間斷點等。
判斷——求出可能間斷點的左右極限
4.連續函數的性質：
基本初等函數在其定義域內連續，初等函數在其有定義的區間內連續。
連續函數的和差積商以及復合仍為連續函數。
f(x)在[a,b]內連續，則






，在[a,b]上可導，對






在[a,b]上可應用
最值、介值、零點定理。
設f(x)在x
0
處連續，若



，則f(x
0
)=0，且f`(x
0
)=A




連續函數在閉區間上的性質——證明題構造F(x)后使用
有界性與最大最小值定理：閉區間內連續函數一定有界且一定能取到最大最小值。
介值定理：在[a,b]內f(a)=A，f(b)=B，C [A,B]，則(a,b)內至少有一點ξ使得f(ξ)=C
閉區間上的連續函數可以取到其區間上的任意有限個函數值的平均值。
零點定理：f(x)在 [a,b]內連續且f(a)·f(b)＜0，則(a,b)內至少有一點ξ使得f(ξ)=0


第二章 一元函數微分
一、導數與微分
1.導數的概念
定義 ——設函數y=f(x)在點x
0
的某個鄰域U(x
0
)內有定義，并設x< br>0
＋ U(x
0
)。若極限












存在，則稱y=f(x)在點x
0
處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點x
0
處










的導數，記為f`(x
0
)，即f`(x
0
)=






。也可記作y`=


，

或







。
左導數與右導數——


導數與極限的聯系——
f`(x
0
)=





















或














若f`(

)存在，







，則（在下列極限存在時）
























，














，設






存在。
存在。














，設





設f(x)在x
0
處連續，則









，


































，














，




不存在







可導與連續的關系—— 可導函數一定連續，反之不然。
可導的充要條件——左右導數存在且相等
導數的幾何意義——函數y=f(x)在點x
0
處的導數f`(x
0
)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x
0，
f(x
0
))處的切線的斜率，即f`(x
0
)= ，其中 是切線的傾角。法線斜率=




。
導數的經濟意義——設函數f(x)可導，則導函數f`(x)稱為邊際函數，f`(x
0
) 稱為在x=x
0
點
的邊際函數值，而












稱為f(x)的彈性函數


2.導數的計算
基本初等——






































(
(











(








反函數的導數——反函數的導數等于直接函數的導數的倒數
復合函數的導數——
隱函數的導數——通過等式F(x，y)=0兩邊對x求導，y作為中間變量，按復合函數求導
變限積分的導數——設f(x)在[a,b]上連續，則


在[a,b]上可導，且(




設f(x)連續，g(x)與h(x)都可導，則





























對于
















，先提出a(x)，再命u=



作積分變量變換，
使得被 積表達式中不再含x（變化至上下限或提出積分號外），然后再對x求導。
設f(x)在[a,b]上可積，則


在[a,b]上連續。
高階導數——








萊布尼茨公式：




















利用冪級數展開












常見函數的n階導數：































·



，





，












，




其中 為正整數





















































含絕對值函數的可導性——
設g(x)在x
0
連續，則函數f( x)=|x-x
0
|g(x)在x
0
處可導





設




，




存在，則|f(x)|在x
0
處可導





隱函數的導數——對于冪指函數可化為指數形式或者兩邊取對數，再兩邊對x 求導，將
看作x的函數，用復合函數求導法則求導，整理得出y`
在導數的表達式中允許含有因變量y
隱函數求在具體一點x
0
處的導數時， 先由原方程求出對應的y
0
值，再帶入求導后
的式子中求出y`更為簡便。
3.微分—— ，
二、導數的應用
1.函數的單調性與極值
單調性充分條件——f`(x)＞0，↑；f`(x)＜0，↓
極值——可能極值點就是導數為0或導數不存在的點。
極值第一充分條件——x
0
左右的f`(x)異號，則f(x
0
)處取極值。
極值第二充分條件——f(x)在x
0
處具有二階導數且f`(x
0
)＝0，f``(x
0
)≠0，則
f``(x
0
)＜0時，f(x
0
)為極大；f``(x
0
)＞0時，f(x
0
)為極小。
最值——駐點，導數不存在的點，端點。
拐點與駐點的高階判斷：





，




極小















，




極大









，


，





是拐點


2.函數的凹凸性和拐點
凹凸性——凹�。�

















f``(x)＞0；凸�。�

















f``(x)＜0
拐點——凹弧與凸弧的分界點。拐點處f``(x)=0或f``(x)不存在
求法：f``(x)在x
0
兩側鄰近符號相反，增減性改變，f``(x0
)=0且f```(x
0
)≠0的點。
3.曲線的漸近線
水平漸近線——

，則y=C為y=f(x)的水平漸近線
鉛直漸近線——


，則x=x
0
為y=f(x)的鉛直漸近線
斜漸近線——

4.導數的經濟應用
邊際——求導
彈性——


，








，則y=ax+b為曲線的斜漸近線
三、中值定理及不等式的證明
1.微分中值定理
費馬定理——設函數y=f(x)在點x
0
的某個鄰域U (x
0
)內有定義，并在x
0
處可導，如果對
任意的x∈U(x0
)，有f(x)≤f(x
0
)（或f(x)≥f(x
0
)）， 那么f`(x
0
)=0。
羅爾定理——如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續 ，在開區間(a,b)可導，且f(a)=f(b)，那么
在(a,b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b) ，使得f`(ξ)=0。
拉格朗日中值定理——如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區 間(a,b)內可導，那么
在(a,b)內至少有一點ξ(a＜ξ＜b)，使得f(a)-f(b)= f`(ξ)(b-a)。
拉格朗日中值定理等價表達：存在θ（0＜θ＜1），使得f(a)-f(b)= f`[a+θ(b-a)](b-a)
柯西中值定理——如果函數f(x)及F(x)在閉區間[a, b]上連續，在開區間(a,b)可導，且對
任意x∈(a,b)，F`(x)≠0，那么在(a,b) 內至少有一點ξ，使得
泰勒中值定理——f(x)=
2.證明 P55-68












































第三章 一元函數積分學
一、不定積分
1.不定積分的概念
f(x)的原函數為F(x)+C
對于區間[a,b]上任一連續函數f(x)，有原函數










2.關于原函數的結論
若f(x)在[a,b]上不連續，則F(x)=


即使存在，甚至可導，也不一定是f(x)在[a,b]
上的原函數。
若f(x)在[a,b]上有第一類間斷點，由于導函數沒有第一類間斷點可知f(x)一定沒有原函< br>數，即在[a,b]上不定積分





不存在。
f(x)為奇函數? f(x)的任意原函數F(x)為偶函數
f(x)為偶函數→f (x)的原函數中只有一個為奇函數，即


。
f(x)的任意原函數F(x)為周期函數→f(x)為周期函數
f(x)是以T為周期的周期函數且



→f(x)的任意原函數是以T為周期的周期函數。
3.基本性質










或




















或






4.積分公式

















































































































































常用的變量代換——
三角帶換：



，可令 ，









，可令 ，









，可令 ，









根式代換：

或






，直接令此根式為t

包含

，…，

時，令此根式為

（n為各根指數
的最小公倍數）
倒代換：當被積函數分母的最高次冪高于分子的最高次冪時，可考慮令x=


5.第一換元法（湊微分法）
6.第二換元法
7.分段函數的積分
根據 不同區間上的函數表達式分段分別積分，再利用原函數在分段點的連續性（可導一
定連續），粘合起來， 即將各段上的任意常數C
i
統一成一個任意常數C。

二、定積分
1.存在條件
必要條件——


存在的必要條件是f(x)在[a,b]上有界。
充分條件——


存在的充分條件是f(x)在[a,b]上連續，或僅有有限個間斷點且有
界。
2.幾何意義
若f(x)≥0，定積分


(a＜b)表示曲線y=f(x)，兩條直線x=a，x=b與x軸所圍成的
曲邊梯形的面積。
一般地，定積分


表示曲線y=f(x)，兩條直線x=a， x=b所圍圖形面積的代數和（x
軸方面積為正，下方面積為負）
3.定積分性質
線性性——
可加性——
不等式—— 若f(x) 0，



，則



；若f(x)不恒為零，則



若f(x) g(x)，



， ，則







，不可反推
若 ，則











若



，



，則







【估算】
若f(x)在[a,b]上最大值為M，最 小值為m，g(x)≥0，f(x)g(x)不恒等于Mg(x)，
mg(x)(x∈[a,b])，則














.






























乘積的積分平方≤平方的乘積分

積分中值定理——若f(x)在[a,b]上連續，則至少存在一點ξ



，使得

















推廣的積分中值定理——若f(x)，g(x)在[a,b ]上連續，且g(x)不變號，則至少存在一點ξ




，使得












變上限積分的導數——




函數在區間內可積，其原函數在同區間內未必可導，但在同區間內一定連續。
牛頓- 萊布尼茨定理——
要求：在區間內連續。若有間斷點則分段積分。
推廣的牛頓-萊布尼茨定 理：設f(x)在[a,b]上連續，F(x)是f(x)在(a,b)內的一個原函數，
且極限F(a +0)，F(b-0)均存在，則


















。
5.定積分的計算
換元積分法——
分部積分法——
變限積分——見第二章第一節第2點
周期函數——見第一章第一節第1點
三角函數——



























，










，
，










，








其中m，n為整數
常用公式——






































， 為正偶數



















， 為大于 的正奇數





奇偶函數——若積分區間為對稱區間，可拆分被積函數使其一部分具有奇偶性；
若被積函數具有奇偶性，可拆分將積分區間使其部分區間是對稱的。
定積分的證明題——P95
三、反常積分
1.反常積分的計算——
加減項不能隨便分開，例如
































而不能寫成
















2.幾個重要的反常積分——



若a＞0，則




















，特別地




，



，
，



，


若

a＞1，則








，
，
，特別地








，

，









，


，一般地







，k 收斂，k 發散。
，










，
，

四、定積分的幾何應用——微元法的應用
1.面積
直角坐標系——由曲線y=f(x)，y=g(x) [f(x)≤g(x)]，直線x=a，x=b所圍圖形的面積為














由曲線x=u(y)，x=v(y) [u(y)≤v(y)]，直線y=c，y=d所圍圖形的面積為














極坐標系——由曲線r=r( )，及射線 ， 所謂圍平面圖形的面積為








由曲線r=

( )，r=

( ) [

( )

( )]及射線 所圍圖形的面積為


















2.體積
由連續曲線y=f(x)，直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形
繞x軸旋轉一周所得旋轉體







繞y軸旋轉一周所得旋轉體




，
由連續曲線x=u(y)，直線y=c，y=d所圍成的平面圖形
繞y軸旋轉一周所得旋轉體














繞x軸旋轉一周所得旋轉體




，
3.函數的平均值
設函數y=f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上的平均值為










五、定積分的經濟應用
1.設邊際需求為Q`(p)，則需求函數為Q(p)=







2.設邊際需求為C`(Q)，則需求函數為C(Q)=







3.設邊際需求為R`(Q)，則需求函數為R(Q)=







4.設總產量對時間t的變化率為 ，則從第a天到第b天的平均日產量為









第四章 多元函數微積分學
一、多元函數微分學
1.多元函數的連續與極限
二元函數的極限（多元函數同樣 適用）——設二元函數z=f(x,y)在平面區域D有定義，
點(x
0
,y
0
)∈D或在D的邊界上，如果動點P(x,y)以任何方式無限趨于點P
0
(x0
,y
0
)時，f(x,y)總是
無限趨于一個常數A，則稱當P(x, y) 趨于點P
0
(x
0
,y
0
)時，f(x,y)以A為 極限，記作









，或

，

，






，或






。
證明

，

，






不存在的方法：當(x,y)沿不同路徑趨于點(x
0
,y
0)時，f(x,y)趨于
不同的值或不存在，或者取一條路徑(x,y) (x
0
,y
0
)而limf(x,y)不存在，則

，

，






不存在。
的語言表述——






對 ， ，當點



滿足












且



時，有










，

，














，其中

，

，







二元函數的連續（多元函數同樣適用）——若










，則稱二元函數


f(x,y)在點(x
0
,y< br>0
)處連續。如果f(x,y)在區域D上每一點都連續，則稱f(x,y)在區域D上連續。
有界閉區域上二元連續函數的性質（多元函數同樣適用）——
最大值和最小值定理——在有界閉區域D上的二元連續函數，必取到最大值和最小
值。
介值定理——在有界閉區域D上的二元連續函數，必取到介于最大值和最小值之間
的任何數。
求法——
求簡單二元函數的極限，判斷二元函數的極限不存在
利用一元函數其極限的方法如四則運算、無窮小代換、重要極限、有界變量與無窮小量
的乘積為無窮小量 ，夾逼準則。作變量代換，化二元函數的極限為一元函數的極限。
一般地，若






，則







且








，反之不然


2.偏導數與全微分
偏導數的定義——設二元函數z=f(x,y)在(x
0
,y
0
)的某鄰域內有定義，若極限





















存在，則稱此極限值為z=f(x,y)在(x
0
,y
0
)處對x的偏導數，記為






或
。對y的偏導數同理。
全微分——若函數z=f(x,y)在(x
0
,y
0
)處的全增量可表示為















，
其中A，B與 ， 無關，




，則稱函數z=f(x,y)在點(x
0
,y
0
)處可微， 稱為
z=f(x,y)在點(x
0
,y
0
)處的全微分，記為

，即

。對自變量x與y約
定 ， ，故全微分又可以寫成dz=Adx+Bdy。
f(x,y)在(x
0
,y
0
)處可微的充要條件——






，





，



，其中





函數z=f(x,y)在點(x
0
,y
0
)處的幾個概念的關系——
兩個一階偏導數在該點連續→函數在該點可微，反之不然。
→函數在該點連續，反之不然。
兩個一階偏導數在該點不連續，函數在該點也可能可微。
函數在該點可微→兩個一階偏導數存在，反之不然。
→函數在該點連續，反之不然。
函數在該點連續 & 兩個一階偏導數存在 不能互相推出。
高階偏導數——
求法——只需要求在一點處的偏導數時，可利用結果




，


，






，



，




，





3.復合函數求導法則
基本原則：有幾個中間變量求出來就有幾項，每 項先對中間變量求偏導再乘以中間變量
對自變量的偏導數。
求二階偏導時仍需要分別對中間變量求偏導。
中間變量為二元函數——設



和 在點(x,y)處偏導數存在，函數
z=f(u ,v)在對應點(u.v)具有連續偏導數，則復合函數z=f[



]在點(x,y)處偏導數存在，
且








，








。
中間變量為一元函數——設z=f(u,v)有連續偏導數，一元函數



和



都可導，
則








，這里稱為 對 的全導數。


多維——設z=f(u,v,w)有連續偏導數，



，



， 偏導數存在，
則







，








多元函數為常數的條件——
設函數z=f(x,y)在區域D上滿足

，

，則f(x,y)在區域D上為常數。
設函數z=f(x,y)定義在全平面上，若

，則f(x,y)= ；若

，則f(x,y)= 。



若函數z=f(x,y)的兩個混合偏導數




，




在區域D內連續，則在區域D內










抽象函數的偏導數與全微分——畫出復合關系的鏈導圖，若對某一變量求偏導數，要看
有幾條路 徑從因變量到此變量，則求導后就有幾項的和，每一條路徑有幾步，對應該條路徑
的項就是幾項的乘積。
運用合適的符號簡化表達式的表示，如z=f(x+y，xy)，則





，需注意
的是，

，

的復合關系仍同f一樣。
4.隱函數的求導公式
由方程確定的隱函數— —設函數F(x,y,z)在點P(x
0
,y
0
,z
0
)的 某鄰域內具有連續的偏導數，
且F(x
0
,y
0
,z
0)＝0，

=( x
0
,y
0
,z
0)≠0，則方程F(x,y,z)＝0在點(x
0
,y
0
,z
0
)的某鄰域內能唯一確定一
個單值連續且具有連續偏導數的函數z=f(x,y)，它滿足z< br>0
=f(x
0
,y
0
)，并有








，







。
【當

=( x
0
,y
0
,z
0
)≠0，

=( x
0
,y
0
,z
0
)≠0時，可分別確定隱 函數x=f(y,z)，y=f(x,z)】





由方程組確定的隱函數——設方程組 確定了隱函數u=u(x,y)，v=v(x,y)，





，解此方則通過等式兩邊對x求偏導，注意到u,v是x的函數，有










程組并設運算過程中出現的分母≠0，求出

，

即可。對y求偏導類似。
求法——若能夠顯化則顯化，若不能顯化則按照以下三個方法來求：
方程兩邊對某變量求偏導數；
方程兩邊求全微分，利用全微分形式不變性；
公式法：設F`
z
≠0，則由方程F(x,y,z)=0確定z是x,y可微函數，則




，















。





5.多元函數的極值與最值
極值的定義——若在(x
0
,y
0)的某鄰域內恒有f(x,y)≤f(x
0
,y
0
)(或≥f(x
0
,y
0
))，則稱f(x,y)在點
(x
0
,y
0
)有極大值f(x
0
,y
0
)(或極小值f(x
0,y
0
)。對于自變量的取值有附加條件的極值稱為條件極值。
極值存在的必要 條件——設z=f(x,y)在點(x
0
,y
0
)具有一階偏導數，且在點( x
0
,y
0
)處有極值，
則必有f`x(x
0
,y
0
)=0，f`y(x
0
,y
0
)=0。
極值存 在的充分條件(僅適用于二元函數)——設z=f(x,y)在點(x
0
,y
0
)的某鄰域內具有一階
及二階偏導數，又f`
x
(x
0
,y
0
)=0，f`
y
(x
0
,y
0
)=0，令A= f``
xx
(x
0
,y
0
)，B=f``
xy(x
0
,y
0
)，c=f``
yy
(x
0,y
0
)，則



時，
(x
0
,y
0
)不是極值點；



時，
(x
0
,y
0
)是極值點，且當 A＜0時，(x
0
,y
0
)是極大值點，A＞0時，(x
0
,y
0
)
是極小值點；


時，(x
0
,y
0
)不確定是否為極值點。
條件極值——拉格朗日乘數：求z=f(x,y)在條件



下的可能極值點，先令
F(x,y)=f(x,y)+ ，













解方程組













，得x,y及λ，則其中x,y就是可能極值點的坐標，







再根據問題的實際背景或比較可能極值點的函數值討論確定，約束條件可能多于一個。
多元函 數的最值及其應用——閉區域上連續多元函數的最值可能在區域內部或邊界上
達到。對于實際問題一般根 據實際背景來確定是否去最值。(如可能極值點唯一，則極大(小)
值點即最大(小)值點。)
求法——
二元函數極值：
解方程組f`
x
(x
0
,y
0
)=0，f`
y
(x
0
,y
0
) =0得所有駐點；
對每一個駐點(x
0
,y
0
) ，求A=f``
xx
(x
0
,y
0
)，B=f``
xy
(x
0
,y
0
)，c=f``
yy
(x
0
,y
0
)的值；
根據

的符號確定是否為極值點，是極大值點還是極小值點。
條件極值：拉格朗日乘數法
最值：閉區域上連續多元函數的最值可能在區域內部或邊界上達到，先求出在區域
內部所有駐點和偏導數 不存在的點，比較這些點與邊界上最值點的函數值，邊界上的最值可
利用條件極值來求。實際問題根據實 際背景來確定是否去最值。
6.變量替換下表達式的變形P123
7.多元函數微分學的反問題
由已知滿足的關系式或條件，利用多元函數微分學的方法和結論 ，求出待定的函數、參
數等。特別是已知偏導數或偏導數所滿足的關系式(方程)求函數，主要有兩種題 型：
已知偏導數，通過不定積分求函數——
設f(x,y)具有連續偏導數，且f `
x
(x,y)=g(x,y)，f`
y
(x,y=h(x,y)，則有











































已知多元函數的偏導數所滿足的方程，通過變量代換，化為一元函數的導數所滿足< br>的方程，即常微分方程，求解微分方程得到函數。
二、二重積分
1.二重積分的概念與性質
定義——設f(x,y)是有界閉區域D上的有界函數，將閉區域D任意分成n個小閉區域

，


…

(

也表示小閉區域的面積)，任取一點(





， 表示各小閉區域直徑中的最
大值，若










總存在(與

的分法及(



的取法均無關)，則稱此極限值
為函數f(x,y)在閉區域D上的二重積分，記作

或

，即












二重積分的幾何意義——當z=f(x,y)≥0時，二重積分

表示以D為底，曲面

z=f(x,y)為頂的曲頂柱體的體積。
若f(x,y)在有界閉區域D上連續，則二重積分

一定存在。

2.二重積分的性質
設f(x,y)，g(x,y)在有界區域D上可積，則有
(線性性)















(可加性)

















，其中



，且D
1
與D
2
僅


在邊上重疊，其他處不相互重疊。
(不等式) 若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，則



；





；









若f(x,y)，g(x,y)在區域D上連續，f(x,y)≤g(x,y )，且f(x,y)不恒等于g(x,y)，則有
嚴格不等式





f(x,y)≥0且

推不出f(x,y)=0.但加上f(x,y)連續條件，則結論正確。

(中值定理)設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續， 是D的面積，則在D上至少存在一點
( )，使得


。

關于對稱性的性質——
， 當







時
若D關于x軸對稱，則












，當







時

其中D
1
為D的上半平面部分；
若D關于y軸對稱，則




， 當







時







，當







時


其中D
2
為D的上半平面部分；
(輪換對稱性) 若x y互換，D保持不變時，即D關于直線x=y對稱，則













只要看到積分區域具有對稱性的二重積分計算問題，就要想到考察被積函數或其代數和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡化計算。
被積函數含有抽象函數時，一般可考慮用對稱性分 析，特別當具有輪換對稱性時，往
往使用輪換對稱性的公式。
3.二重積分的計算
利用直角坐標系計算——
若D： ，









，則
















若D： ，









，則

















根據區域D的不同形狀，可先定x的變化范圍，再定y的變化范圍，即先對y積分再對
x積分；也可以反過來，有時候兩種都可以。計算盡量簡便的方法：先看被積區域的邊界曲
線方程，哪 個變量次冪高或哪個變量關系負載，先定哪個變量，即后對此變量積分；若被積
函數只有一個變量，一般 先定此變量，即后對此變量積分。
利用極坐標計算二重積分——
令 ， ，則



， 。
若積分區域為圓域或圓域的一部分，被積函數為形如



，



，



等，可考
慮采用在極坐標系下進行計算，注意化為極坐標后，面積元素dxdy=r drd 。
極坐標下化二重積分為二次積分，一般選擇的積分次序是先r后θ，定限時仍采用穿線
法， 為確定θ的變化范圍，令極軸沿逆時針方向轉動，極軸與積分域開始接觸時的θ角即為
θ的下限，離去時 的θ角記為θ的上限。穿線是固定θ找r的變化范圍，由于極徑r≥0，故
穿線為從極點出發作射線穿過 區域D，穿入時碰到的D的邊界曲線r
1
(θ)為下限，穿出時離
開的D的邊界曲線r
2
(θ)為上限。
由積分區域定限，大致為下述三種
若極點O在積分區域D的外部，D可以表示為 ，









，則














，







若極點O在積分區域D的邊界上，D可以表示為 ，



，則














，

此情況中r不一定總是從0到



，此時對r的積分限并不總是從0到



。
若極點O在積分區域D的內部，如果D的邊界方程為



，則














，

4.分塊函數的二重積分




、



、形如









、







、











等的被積函數均應當做分塊函數看待，利用積分的可加性分區域


積分。
5.交換積分次序及坐標系P143
兩種情形——題目本身要求交換積分次序；
按原積分次序計算復雜或無法計算時，如含有

，

等，應后對x積分。
準確畫出積分區域；
交換積分次序不能解決問題時考慮交換坐標系。
6.與二重積分相關的證明P147



第五章 無窮級數
一、常數項級數
1.基本概念和基本性質
級數的定義——設有數列




，表達式












稱為無窮級數。

令





(級數的部分和數列)，若極限



存在，則稱級數




收斂；若




不存在(包括




為無窮大量)，則稱





發散。

對于級數





，令




表示其部分和數列，則——

若





收斂，則












，且









若


，或該極限不存在，則





發散。


收斂級數的和——若


則其和定義為S=






收斂，












。


若級數





收斂于S，此時稱







為級數




的余項，
顯然，如果級數





收斂，則



。
級數的性質——

若


k
1
和k
2
是與n無關的常數，則





和




都收斂，










也收斂，

且























；
收斂級數任意添加括號后仍然收斂任意去掉(增加或改變)級數的有限項，不改變其
斂散性；
必要條件：若





收斂，則







對于4個級數





，




，






有如下結論：
兩收則另外兩個也收；一收一發則另外兩個發散；兩發則 另外兩個不確定；兩絕收
則另外兩個也絕收；一絕收一條收則另外兩個條收；兩條收則另外兩個收斂(條 收或絕收)
2.幾何級數與p級數的斂散性

幾何級數：



，當



時收斂，



時發散；
p級數(或對數p級數)：






或








，當 時收斂， 時發散。
3.正項級數(不變號)斂散性的判別法
收斂的充要條件——正項級數的部分和數列有界
若



，則





發散；否則進一步判斷。
若



，





為正項級數，可考慮先利用 等價無窮小(泰勒展開)化簡u
n
為
v
n
，視其特點選擇適當的判別 法——
①比較判別法：若



， ， ， ， ， 為某個正整數，若






收斂，則




收斂；若




發散，則




發散

②比較判別發的極限形式：當 時，若




，




是同階無窮小，則





與





有相同的斂散性；若




是




的高階無窮小，則由





收斂可判定




收斂；由






發散可判定




發散。
③比值判別法：設





，則
當 時，





收斂；
當 時，





發散；
當 時，不確定斂散性，考慮其他方法。
設






，當 時，





，且





和






都發散。即對于

任意項級數





，若






發散，且是由比值判別法判定的，則




也發散。
④若以上方法均失效，則可利用已知級數的斂散性，而結合斂散的定義和性質，來考察
其斂散性 。
若級數的一般項u
n
中含有參數，而級數的斂散性與參數有關時一定要討論參數的 取值。

對于正項級數





：




收斂




與




都收斂；


若





收斂。則




(p )一定收斂；

若





收斂，則








等均收斂。對一般級數不成立
4.任意項（變號）級數斂散性的判斷
絕對收斂與條件收斂——

若







收斂，則稱




絕對收斂；若






發散，但




收斂，則稱






條件收斂。

若







收斂，則




一定收斂；若




發散，則






一定發散。
交錯級數——


設u
n
＞0(n=1，2，···)，則稱




)為交錯級數。




(或





萊布尼茨準則：u
n
單調不增，且



，則




)



(或



收斂，反之不然。







絕對收斂









條件收斂→









收斂；







發散；











一個收斂一個發散→





發散。
交錯級數斂散性的判定——優先考慮萊布尼茨判別法，若不滿足萊布尼茨判別法的條件，


考慮正項級數





，若此級數收斂，則原交錯級數





絕對收斂。
任意項級數斂散性的判定——
考慮級數







，用正項級數的判別法判斷其斂散性：

若







收斂，則




絕對收斂；

若







發散，則看




是否是交錯級數，若是，用萊布尼茨判別法判
斷





是否條件收斂；

若







發散，




也不是交錯級數，或雖然




是交錯級數，但萊
布尼茨判別法失效，此時只能用級數的定義及性質來判定級數的斂散性。
5.數列極限斂散性的證明
由遞推公式給出的數列，一般用單調有界數列必有極限來證明極限的存在

級數








或







收斂的充要條件是極限



存在
利用比較判別法證明正項級數





收斂 (或發散)，根據已知所給出的u
n
具有的特性
或滿足的關系式，對u
n進行適當的放大(或縮小)，即



或



，而級數






由已知條件是收斂(或發散)的，




也經常是p級數或幾何級數。
利用級數收斂的定義證明級數的斂散性，求出部分和S
n
，并證明極限



的存在性
比較判別法，比值判別法只能證明正項級數的斂散性；萊布尼 茨判別法只能證明交錯級
數的斂散性；而定義可以證明任意項級數的斂散性。
二、冪級數
1.定義

設




為一數列，形如








的級數稱為

的冪級數。當x
0
=0時，成為







，稱為x的冪級數。
2.冪級數的收斂半徑、收斂區間、收斂域

(阿貝爾定理)若冪級數








在x
1
(x
1
≠x
0
)處收斂，則對任何滿足













的x，








絕對收斂；若冪級數







在x
1
(x
1
≠x
0
)

處發散，則對任何滿足











的x，








發散。
(阿瑪達公式)若







，則








的收斂半徑為





若






，則收斂半徑為


(當 時，規定 ；當 時，規定 )
*

使冪級數








收斂的x=x稱為該冪級 數的收斂點。一個冪級數的收斂點的
集合稱為該冪級數的收斂域。冪級數的收斂域一定是一個區間(可開 ，可閉或半開半閉)或僅
是x=x
0
一點；
冪級數的收斂區間是開區間。
若R＞0為它的收斂半徑，則其收斂區間為




，即(

，

)，再考慮


的收斂性，可求得收斂域。
3.冪級數的和函數及其在收斂區間內的基本性質

設


和函數為S(x)，則在收斂區間

，

內






的收斂半徑為R＞0，
有：
連續并有任意階導數；









(逐項微分)




























































逐項積分 ，特別地有




























絕對收斂
4.函數展開稱泰勒級數的充要條件
設f(x)在x
0
的某個鄰域內具有各 階導數，則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數的充要條
件是f(x)的泰勒公式中的余項























， 是該鄰域中的點， 介于

與 之間 。此時f(x)可展開成泰勒級數：


























5.幾個常見函數的麥克勞林展開式 (注意起始項與定義域)









， ；














， ；
；




，












，



；







， ；







， )























， (該級數在
的收斂性取決于 的值，需要單獨判斷)
6.求冪級數的和函數
求出收斂域；
通過冪級數的代數運算、逐項微分、逐項積分等性質將其化為典型冪級數來求和；
通 過冪級數的代數運算、逐項微分、逐項積分等性質轉化為關于和函數S(x)的微分方程
問題，解微分方 程求出S(x)
部分和函數S(x)容易求時，也可用定義








7.求數項級數的和
冪級數法——套用現成的冪級數或構造適當的冪級數，轉化為冪級數求和函數問題。對


于收斂級數






，一般構造冪級數





(顯然要求它在x=b處收斂)，求出其和函


數S(x)，則有





。而對于級數




，相當于





當b=1時的特殊情
形。
利用收斂級數的定義及其性質——求部分和數列的極限



，也經常將通項u
n

進行分解，





，先求級數





與




的和，再根據級數的運算性質得到級
數





的和。
8.函數展開稱冪級數 P172
間接展開法——通過適當的恒等變形、求導或積分，將函數轉化為冪級數展開式已知的
函數。
求出展開式后，要寫出展開式成立的區間，逐項求導或積分不改變收斂半徑及收斂區間，
但是收 斂區間端點處的斂散性可能會改變。
另外，利用函數冪級數展開式的唯一性，可求函數f(x)的n階導數





，特別是



。
求出函數f(x)的冪級數展開式











開式的唯一性，得











，又














，根據函數冪級數展





，即









9.經濟中的應用
級數在經濟中的應用主要是與復利有關。
分期復利計算公式



，其中r為年利率；
連續復利計算公式



；
現值公式



。

第六章 常微分方程與差分方程
一、常微分方程
1.基本概念
微分方程——含有未知函數、未知函數的導數的導函數與自變量之間的關系的方 程，叫
做微分方程；未知函數導導函數的最高階數稱為該微分方程的階；未知函數是一元函數的微
分方程稱為常微分方程。
線性微分方程——如果一個微分方程中的未知函數及其導函數只以它們的線 性組合的
形式出現(系數為已知函數)，則稱該微分方程是線性的；否則稱為非線性的。
n階微分方程的一般形式為 ， ，

， ①
解出

的形式為

， ， ，

。 ②
微分方程的解，通解——如果函數 代入①或②，使之成為恒等式，即


，



， ，







或






，



， ，






，則稱函數







為微分方程①或②的解(有時還要求該函數具有直到n階連續的導函數)；如果解
的 表達式含有個數與方程階數相等的獨立常數，則稱其為通解。
初始條件，特解——可以確定通解中任意 常數的條件稱為定解條件。最常見的定解條件
是初始條件。n階方程①或②的初始條件一般為





，




， ，







其中

，

，

，···，

是事先給定的。
滿足初始條件的解稱為特解。
微分方程的積分曲線——微分方程的解 所表示的曲線稱為該微分方程的積分
曲線。
2.一階微分方程
可分離變量的方程







把自變量x的函數及
dx和因變量y的函數
和dy分離開來，分別
放在方程的兩邊，然后
再積分，可求得通解：
齊次微分方程



令

，則 ，
，并經
過分離變量后，方程化
為

一階線性微分方程





通解公式：




















。
注意滿足f(y)=0的常
值函數

也是原
方程的解。










，
積分可得通解











注意滿 足f(u)=u的常數
u
0
所對應的y=u
0
x也是
方程的 解。
3.二階線性微分方程
設方程







①








②
f(x)不恒為0時，①稱為二階非齊次線性微分方程；②稱為與其對應的二階齊次線性微
分方程。下表中，若序號成立，則對應序號成立。


















通解
特解











對應④






，

①

解










對應①







對應②


③





，

且



常數 ④

















對應④





，

②


③


④








對應③





(疊加原理)設




，

分別是方程













與









的特解，則










是
方程


















的特解。
4.二階常系數線性微分方程
形式：
解法：
先求出對應齊次方程的通解——
求特征方程：

的根
1) 若特征方程有相異實根

，

，則通解為

















2) 若特征方程有重根 ，則通解為











3) 若特征方程有共軛復根 ，則通解為











共軛復根


f(x)的類型




根據非齊次項f(x)的形式再求一個特解

，下表：









，
其中




為x
的n次多項式












(1) 不是特征方程的根，











，其中




為待定的x的n次多項式；
(2) 是特征方程的單根，












特解

的形式
(1)0不是特征方程的根，









，其中




為待定的x的n次多項式；
(2) 0是特征方程的單根，










(3) 0是特征方程的重根，












(3) 是特征方程的重根，





















(1) i 不是特征方程的根，




；
或


(1) i 是特征方程的根，








，其中A，B為待定常數
方程的通解為














5.可化為微分方程求解的問題
題型——
以積分方程形式給出，經過變形、求導，去掉積分運算，轉化為可解的微分方程。
以多元函數偏導數的等式給出，可利用多元函數微分學的方法，去掉偏導數符號，轉化
為可解的 微分方程。
解法——
對于含有變限積分的函數方程，一般先在等式兩邊對x求導，消去變限積分
由含有變限積分的 函數方程轉化為微分方程，一般隱含著初始條件，應在原方程中確定
初始條件。
由變限積分所構造的函數方程——
常見形式：


















，其中



，



為已知可導函數， ，求
連續函數




一般先將原方程化為










(①)，兩邊對x求導 ，得到關于f(x)的一階線
性方程，再令x=a，代入原方程得到初始條件f(a)=h(a)，解此 初值問題，即可求出f(x)。
需注意：在方程











中含有兩個變限積分


與



，不能按照常規的思路通過一次求導，消去變限積分，一般要進行兩次求導才能消
去變限積分， 并轉化為二階微分方程問題。
6.微分方程的應用
題型——幾何上的應用于經濟上的應用，根據實際問題列出微分方程，然后求解。步驟：
根據實際要求確定要研究的量(幾何量或經濟量)；
找出這些量所滿足的規律(幾何的或經濟的)；
運用這些規律列出方程；
列出初始條件，往往隱含在題目中。




二、差分方程
1.概念
給定函數





，其自變量t取值為等間隔整數值，即 ， ， ， ， ，
則 在t時刻一階差分定義為







，一階差分

的差分稱為f(t)
的二階差分，記為



，即














一般地，f(t)的 階差分



的差分稱為f(t)在t時刻的k階差分，即























， ， ， ，其中










2.一階常系數線性差分方程
形如







， ， ， 的方程，稱為一階常系數線性差分方程，其中
p為非零常數，f(t)為已知函數，



稱為它對應的常系數一階線性差分方程。

一階常系數線性差分方程的通解為：





，其中

為特解。

若















，則待定特解

具有以下形式：



















，其中當 時， ；當 時， 。

確定特解

——
，

當



時 為常數 ，




，
當 時 ，


為常數 ，





，






，

當 時



為常數)，









，









，