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三次方的公式排列組合公式排列組合計算公式----高中數學!

時間:2021/4/10 10:03:45  作者:一個了  來源:愛方  查看:1105  評論:0
內容摘要: 經濟生活知識點-山東濟南英才學院實用標準 排列組合公式排列組合計算公式 公式P是指排列,從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進行排列。 N-元素的總個數R參與選擇的元素個數 !-階乘 ,如9。9*8*7*6*5*4*3...

經濟生活知識點-山東濟南英才學院


實用標準
排列組合公式排列組合計算公式

公式P是指排列,從N個元素取R個進行排列。
公式C是指組合,從N個元素取R個,不進行排列。
N-元素的總個數
R參與選擇的元素個數
!-階乘 ,如 9。9*8*7*6*5*4*3*2*1
從N倒數r個,表達式應該為n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因為從n到(n-r+1)個數為n-(n-r+1)=r
舉例:
Q1: 有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數?
A1: 123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的,既屬于“排
列P”計算范疇。
上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現988,997之類的組合,
我們可以這么看,百 位數有9種可能,十位數則應該有9-1種可能,個位數則
應該只有9-1-1種可能,最終共有9*8 *7個三位數。計算公式=P(3,9)=
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實用標準
9*8*7,(從9倒數3個的乘積)
Q2: 有從1到9共計9個號碼球,請問,如 果三個一組,代表“三國聯盟”,
可以組合成多少個“三國聯盟”?
A2: 213 組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。
即不要求順序的,屬于“組合C” 計算范疇。
上問題中,將所有的包括排列數的個數去除掉屬于重復的個數即為最終組
合數C(3,9)=9*8*73*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析


例1 設有3名學生和4個課外小組.(1)每名學生都只參加一個課外小組;(2)每
名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?

解(1)由于每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人< br>數,因此共有

種不同方法.

(2)由于每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加,因此共


種不同方法.

點評 由于要讓3名學生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進行計算.

例2 排成一行,其中

不排第一,

不排第二,

不排第三,

不排第四的不同排法共有多少種?

解 依題意,符合要求的排法可分為第一個排

、

、

中的某一個,共3類,每一類中不同
排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出:

∴ 符合題意的不同排法共有9種.

點評 按照分“類”的思路 ,本題應用了加法原理.為把握不同排法的規律,“樹圖”是
一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計 數問題的一種數學模型.

例3 判斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計算出結果.

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實用標準
(1)高三年級學生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了
一次手,共握了多少次手?

(2)高二年級數學課外小組共10人:①從中選一名正組 長和一名副組長,共有多少種不
同的選法?②從中選2名參加省數學競賽,有多少種不同的選法?

(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質數:①從中任取兩個數求它們的商 可以有
多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積?

(4)有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從
中選出2盆放在 教室有多少種不同的選法?

分析 (1)①由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲 的信是不同的兩封信,所以與
順序有關是排列;②由于每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同 一次握手,與順序
無關,所以是組合問題.其他類似分析.

(1)①是排列問題,共用了

封信;②是組合問題,共需握手

(次).

(2)①是排列問題,共有

(種)不同的選法;②是組合問題,共有

種不同的選法.

(3)①是排列問題,共有

種不同的商;②是組合問題,共有

種不同的積.

(4)①是排列問題,共有

種不同的選法;②是組合問題,共有

種不同的選法.

例4 證明



證明 左式



右式.

∴ 等式成立.

點評 這是一個排列數等式的證明問題,選用階乘之商的形式,并利用階乘的性質

,可使
變形過程得以簡化.

例5 化簡



解法一 原式




解法二 原式


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實用標準
點評 解法一選用了組合數公式的階乘形式,并利用階乘的性質;解法二選用了組合數的
兩個性質, 都使變形過程得以簡化.

例6 解方程:(1)

;(2)



解 (1)原方程






解得


(2)原方程可變為

∵ ,

,

∴ 原方程可化為



即 ,解得


第六章 排列組合、二項式定理

一、考綱要求
1.掌握加法原理及乘法原理,并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.
2.理解排列、 組合的意義,掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質,
并能用它們解決一些簡單的問題.
3.掌握二項式定理和二項式系數的性質,并能用它們計算和論證一些簡單問題.
二、知識結構

三、知識點、能力點提示
(一)加法原理乘法原理
說明 加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎,掌握此兩原理為處理排 列、
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實用標準
組合中有關問題提供了理論根據.
例1 5位高中畢業生,準備報考3所高等院校,每人報且只報一所,不同的報
名方法共有多少種?
解: 5個學生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名,因而每個學生都
有3種不同的 報名方法,根據乘法原理,得到不同報名方法總共有
3×3×3×3×3=3
5
(種)
(二)排列、排列數公式
說明 排列、排列數公式及解排列的應用題,在中學代數中較為獨特,它研 究
的對象以及研 究問題的方法都 和前面掌握的知識不同,內容抽象,解題方法比
較靈活,歷屆高考主要考查排列的應用題,都是選擇題或 填空題考查.
例2 由數字1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數,其中小于50 000的
偶數共有( )
A.60個 B.48個 C.36個 D.24個
解 因為要求是偶數,個位數只能是2或4的排法有P
1
2
;小于50 000的五位數,萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P
1
3
;在首末兩位數排定 后,
中間3個位數的排法有P
3
3
,得P
1
3
P< br>3
3
P
1
2
=36(個)
由此可知此題應選C.
例3 將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個
數字,則 每個方格的標號與所填的數字均不同的填法有多少種?
解: 將數字1填入第2方格,則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填
法有3種,即214 3,314 2,4123;同樣將數字1填入第3方格,也對應著3
種填法;將數字1填入第4方格,也對應3種填 法,因此共有填法為
3P
1
3
=9(種).
例四 例五可能有問題,等思考
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實用標準


三)組合、組合數公式、組合數的兩個性質
說明 歷屆高考均有這方面的題目出現,主要考查排列組合的應用題,且基本上
都是由選擇題或填空題考查.
例4 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少有甲型與乙型電
視機各1臺, 則不同的取法共有( )
A.140種 B.84種 C.70種 D.35種
解: 抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有C
1
4
·C
2
5
種;甲型2臺乙
型1臺的取法有C
2
4
· C
1
5

根據加法原理可得總的取法有
C
2
4
·C
2
5
+C
2
4
·C
1
5=40+30=70(種 )
可知此題應選C.
例5 甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程,甲公司承包3項,乙公司承包1 項,
丙、丁公司各承包2項,問共有多少種承包方式?
解: 甲公司從8項工程中選出3項工程的方式 C
3
8
種;
乙公司從甲公司挑選后余下的5項工程中選出1項工程的方式有C
1
5
種;
丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項工程中選出2項工程的方式有C
2
4
種 ;
丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有
C
2
2
種.
根據乘法原理可得承包方式的種數有C
3
8×C
1
5
×C
2
4
×C
2
2
=

×1=1680(種).
(四)二項式定理、二項展開式的性質
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實用標準
說明 二項式定理揭示了二項式的正整數次冪的展開法則,在數學中它是常用的
基礎知識 ,從1985年至1 998年歷屆高考均有這方面的題目出現,主要考查
二項展開式中通項公式等,題型主要為選擇題或填空 題.
例6 在(x-

)
10
的展開式中,x
6
的系數是( )
A.-27C
6
10
B.27C
4
10
C.-9C
6
10
D.9C
4
10

解 設(x-

)
10
的展開式中第γ+1項含x
6
,
因T
γ+ 1
=C
γ
10
x
10-γ
(-

)
γ
,10-γ=6,γ=4
于是展開式中第5項含x 6,第5項系數是C
4
10
(-

)
4
=9C
4
10

故此題應選D.
例7 (x-1)-(x-1)
2
+(x-1)
3
-(x-1 )+(x-1)

的展開式中的x

的系數等



解:此題可視為首項為x-1,公比為-(x-1)的等比數列的前5項的和,則其和為
在( x-1)
6
中含x
3
的項是C
3
6
x
3< br>(-1)
3
=-20x
3
,因此展開式中x
2
的系數 是-2 0.
(五)綜合例題賞析
例8 若(2x+

)
4
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
,則(a
0
+a
2
+a
4
)
2
-(a< br>1
+a
3
)
2
的值為( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解:A.
例9 2名醫生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢,每校分配1名醫生和
2 名護士,不同的分配方法共有( )
A.6種 B.12種 C.18種 D.24種
解 分醫生的方法有P
2
2=2種,分護士方法有C
2
4
=6種,所以共有6×2=12種
不同的分 配方法。
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實用標準
應選B.
例10 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其 中至少要有甲型與乙
型電視機各1臺,則不同取法共有( ).
A.140種 B.84種 C.70種 D.35種
解:取出的3臺電視機中,甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.
∵C
2< br>4
·+C
2
5
·C
1
4
=5×6+10×4 =70.
∴應選C.
例11 某小組共有10名學生,其中女生3名,現選舉2 名代表,至少有1名
女生當選的不同選法有( )
A.27種 B.48種 C.21種 D.24種
解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類:
∵C
1
3
·C
1
7+C
2
3
=3×7+3=24,
∴應選D.
例12 由數學0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的 六位數,其中個位數字
小于十位數字的共有( ).
A.210個 B.300個
C.464個 D.600個
解:先考慮可組成無限制條件的六位數有多少個?應有P
1
5
·P 5
5
=600個.
由對稱性,個位數小于十位數的六位數和個位數大于十位數的六位數各占一半.
∴有

×600=300個符合題設的六位數.
應選B.
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實用標準
例13 以一個正方體的頂點為頂點的 四面體共有( ).
A.70個 B.64個
C.58個 D.52個
解:如圖,正方體有8個頂點,任取4個的組合數為C
4
8
=70個. 其中共面四點分3類:構成側面的有6組;構成垂直底面的對角面的有2組;
形如(ADB
1
C
1
)的有4組.
∴能形成四面體的有70-6-2-4=58(組)
應選C.
例14 如果把兩條異面直線看成“一對”,那么六棱 錐的棱所在的12條直線
中,異面直線共有( ).
A.12對 B.24對
C.36對 D.48對
解:設正六棱錐為O—ABCDEF.
任取一側棱OA(C
1
6
) 則OA與BC、CD、DE、EF均形成異面直線對.
∴共有C
1
6×4=24對異面直線.
應選B.
例15 正六邊形的中心和頂點共7個點,以其中三個點 為頂點的三角形
共 個(以數字作答).
解:7點中任取3個則有C
3
7
=35組.
其中三點共線的有3組(正六邊形有3條直徑).
∴三角形個數為35-3=32個.
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實用標準
例16 設含有10個元素的集合的全部子集數為S,其中由3個元素組成的子集
數為T,則

的值為 。
解 10個元素的集合的全部子集數有: < br>S=C
0
10
+C
1
10
+C
2
1 0
+C
3
10
+C
4
10
+C
5
10
+C
6
10
+C
7
10
+C
8
10
+C
9
10
+C
1
0
10
=2
10=1024
其中,含3個元素的子集數有T=C
3
10
=120


=


例17 例17

在50件產品 n 中有4件是次品,從中任意抽了5件 ,至少有3
件是次品的抽法共
種(用數字作答).
解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C
3
4·C
2
46
+C
4
4
·C
1
46=4186(種)
例18 有甲、乙、丙三項任務,甲需2人承擔,乙、 丙各需1人承擔,從10
人中選派4人承擔這三項任務,不同的選法共有( ).
A.1260種 B.2025種
C.2520種 D.5040種
解:先從10人中選2個承擔任務甲(C
2
10
)
再從剩余8人中選1人承擔任務乙(C
1
8)
又從剩余7人中選1人承擔任務乙(C
1
7)
∴有C
2
10
·C
1
8C
1
7=2520(種).
應選C.
例19 集合{1,2,3}子集總共有( ).
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實用標準
A.7個 B.8個 C.6個 D.5個
解 三個元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一個,由一個元素組成的
子集數
C
1
3
,由二個元素組成的子集數C
2
3
。
由3個元素組成的子集數C
3
3
。由加法原理可得集合子集的總個數是 C
1
3
+C
2
3
+C
3
3
+ 1=3+3+1+1=8
故此題應選B.
例20 假設在200件產品中有3件是次品,現在從中任意抽取5件,其中至少
有兩件次品的抽法有( ).
A.C
2
3
C
3
197
種 B.C
2
3
C
3
197
+C
3
3
C
2
197

C.C
5
200
-C
5
197
D.C
5
200
-C
1
3
C
4
197

解:5件中恰有二件為次品的抽 法為C
2
3
C
3
197
,
5件中恰三件為次品的抽法為C
3
3
C
2
197
,
∴至少有兩件次品的抽法為C
2
3
C
3
197
+C
3
3
C
2
197
.
應選B.
例21 兩排座位,第一排有3個座位,第二排有5個座位,若8名學生入座(每
人一個座位),則不同座法的總 數是( ).
A.C
5
8
C
3
8
B.P
1
2
C
5
8
C
3
8


C.P
5
8
P
3
8

文檔

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